今更モンティ・ホール問題を考えてみました

昨日の終物語を見ていたら、モンティ・ホール問題というのがちらっと出てきました。
これについて改めていろいろ考えてみたので、それをまとめてみます。

モンティ・ホール問題とは

閉まった3つのドアがあって、どれか1つのドアの向こうには景品の新車があります。
参加者が当たりのドアを選ぶことができたら、新車がもらえるというゲームがあります。

まず参加者がドアをどれか1つ選んだ後、司会者が残り2つのドアのうちハズレのものを開けてくれます。
その時、参加者はドアの選択を変更するべきかどうかという話です。

直感的には、残った2つのドアのどちらも当たりの確率は1/2です。
しかし実際は、最初に選んだドアが当たりの確率は1/3でもう1つのドアが当たりの確率は2/3であるというものです。

今回のぼくの考え方

モンティ・ホール問題という言葉を聞いた時、こういう問題があるというのは何となく覚えていました。
なので、初見ではないということを言っておきます。

今回は、次のように考えてみました。

まず最初に参加者がドアを選んだ時点で、選んだドアと選ばなかったドアの2グループに分けて考えてみます。
montyhall

選んだドアが当たりの確率は1/3で、選ばなかったドアのどちらかが当たりの確率は2/3であるというのは分かると思います。

なぜ選ばなかったドアをまとめてグループにしたかというと、この後司会者がハズレのドアを開けてくれるので、この2つのドアのどちらかに当たりがある場合に参加者は確実に当たりを選ぶことができるからです。
なので、重要なのはこのグループに当たりが含まれるか含まれないかという点だけで、当たりが含まれる場合にそのどちらが当たりかというのを選ぶ必要はなくなります。

こんな感じで、司会者がハズレのドアを開けてくれた後は、最初に選んだほうが当たりの確率は1/3で、残ったドアが当たりの確率は2/3であると考えました。

この問題をめぐって論争があったらしいです

これで終わりだったら特にブログの記事にしなかったと思いますが、これをめぐって論争があったらしいというのを知って記事にしてみました。
これ以降はWikipediaから得た情報を使ってまとめています。

世界で最も高いIQがあるとしてギネスブックにも載っているマリリン・ボス・サヴァントというコラムニストが、このゲームでドアを変更すべきかどうかという投書を受けて、司会者がドアを開けた後は選択を変更したほうが当たる確率が高くなるというコラムを掲載したところ、反論の投書が大量に寄せられたそうです。
その反論の投書の中には、博士号を持つ人からのものもこれまた大量にあったようです。

それを説明するために計3回のコラムを掲載したらしいのですが、その時点でも反対意見は9割ぐらいだったそうです。

今の時代の我々からすればこの問題はよく知られているので、博士号まで持った人がどうして間違えたのかと不思議に思うかもしれません。
初見にしても、専門家ならば分かりそうな気がします。

実は問題は別のところにあって、このゲームのルールが明確でなかったところにあったようです。

例えば、司会者も当たりがどのドアか知らなくて、もし参加者がドアを1つ選択した後に司会者が開けたドアが当たりだったらその時点でゲームオーバーというルールだったとします。
この時は、司会者がハズレのドアを開けた後という条件付き確率を考えると、どちらのドアも当たりの確率は1/2になります。
司会者が当たりのドアがどれかを知っているか知っていないかの違いだけで、司会者がハズレのドアを開けた後という状況には何も変わりがないのに確率が変わるというのも変な感じですが、そうなります。

せっかくなのでこの場合について説明してみると、まず参加者がドアを1つ選んだ時点で選ばなかったドアグループに当たりが含まれる確率が2/3です。
もしグループに当たりが含まれた場合というのを考えてみると、この後司会者がどちらかのドアを適当に開けてしまうので、当たりの半分は司会者が潰してしまうことになります。
という事で、等しく当たる確率1/3であったうちの1/3の選択肢が1つ消えて、残ったドアが当たりである確率はどちらも1/2になります。

この辺りの話は、他のサイトを検索したらいくらでも出てくると思うので、興味があったらそちらを見てみてください。

こんな感じでルールによっては、司会者がドアを開けた後にどちらのドアも当たる確率は1/2ずつという事になります。

サヴァントとその意見に反対した人たちの違いは、最初の投稿者がゲームのルールを書いたものを読んで、ちゃんと条件を理解できたかどうかにあると思いました。
その辺りが、彼女の高IQたる所以かなと思いました。

今となってはあまりにも有名な問題になってしまったので、ルール云々の話で論争になることはないと思いますが、もしこれを知らなかったら自分はちゃんとルールを理解してドアを変更すべきというサヴァントの意見に賛成できていたのだろうかと思います。
恐らく、大多数の意見と一緒になって反対していたような気がします(笑)。

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