抵抗値の計算をできるだけ楽にしたい

今週はちょっと旅に出ていまして、勉強は全くしていません。
昨日帰宅したので、今日からまた再開です。

さて今日もまた過去問1回分を解いたのですが、思ったことは「めんどくさい」です。
頑張れば1時間以内に解けるようにはなったけど、ここで頑張ることすら面倒です。

なのでこれからは、できるだけ楽に解答できる方法を探ってみようかと思っています。

今日はその初回として、次の問題を挙げてみます。

平成25年度下期 問3
直径2.6[mm]、長さ10[m]の銅導線と抵抗値が最も近い同材質の銅導線は。

イ.直径 1.6[mm]、長さ 20[m]
ロ.断面積 5.5[mm2]、長さ 10[m]
ハ.直径 3.2[mm]、長さ 5[m]
ニ.断面積 8[mm2]、長さ 10[m]

はい、面倒くさそうですね。
電卓を使わせてくれるならばいいけど禁止なので、高校卒業以来ほとんどやっていなかった筆算で計算しなければなりません。

ここで使うのは、以下の式です。

R = ρ × (L / S)

R[Ω]は抵抗値、ρ[Ω・m]は抵抗率、L[m]は導線の長さ、S[m2]は導線の断面積です。

こんな式を覚えないでも、長さに比例して断面積に反比例して、あとは抵抗率という比例定数をかければ抵抗値になると理解していれば勝手に上記の式になります。

あと、ここでは国際単位系に合わせて抵抗率の単位を[Ω・m]で書いていますが、過去問の本やらいろんなサイトの解説を見ると[Ω・mm2/m]で書いている場合もあるので、単位には注意しましょう。

導線の断面積Sは円の面積の求め方で出すことができます。
中学校ではπr2、小学校では(半径)×(半径)×3.14と習ったと思います。

ということで、導線の直径をD[mm]とすると、S = π ×((D × 10-3) / 2)2 なので、抵抗値は以下のようになります。

R = ρ × (4L×106) / (πD2)

さて、この式に代入して計算を・・・というのが面倒なわけです。
じゃあどうしようかということで、次のように考えてみました。

まず問題文と全ての選択肢の直径を面積に変換します。
直径になっているのは、問題文とイとハです。

問題文の直径2.6[mm]だったら半径は1.3[mm]になるので、
1.3 × 1.3 × 3.14を筆算で計算して、5.31[mm2]というのが出ます。

同様に他のものも面積に直して、以下のようになります。

問題文:断面積 5.31[mm2]、長さ 10[m]

イ:断面積 2.01[mm2]、長さ 20[m]
ロ:断面積 5.5[mm2]、長さ 10[m]
ハ:断面積 8.04[mm2]、長さ 5[m]
ニ:断面積 8[mm2]、長さ 10[m]

ここまで来たら、あとは感覚です。

R = ρ × (L / S)

なので、断面積が2倍になれば長さも2倍、断面積が3倍になれば長さも3倍、さらに言うと断面積が5/8倍になれば長さも5/8倍となれば、抵抗は変わらないことになります。

ここから問題文と同じぐらいの抵抗になる選択肢を選びます。
ぱっと見でロが一番近いというのは分かりますが、もうちょっと見てみます。

イは断面積が1/3倍近くっぽいので、長さも1/3倍ぐらいじゃないと近くならないので、これは全然違っていそうです。
ロは断面積がほぼ同じで長さは全く同じなので一番近そうです。
ハは断面積が1.5倍ぐらいなので、長さも1.5倍ぐらいじゃないと近くならないので、これも全然違っていそうです。
ニは断面積だけが1.5倍ぐらい大きくなっているので、ロに比べたら遠い抵抗値になっていると思います。
(暗算なので、1/3倍とか1.5倍というのはぼくの感覚です)

ということで、ロが一番近そうだというのが分かります。

ちなみにロの抵抗値は問題文と比べて0.97倍ぐらいになっていますが、ここまで近ければこれで確定でいいと思います。
これよりさらに近いところにねじ込んでくるようないやらしい選択肢は、過去問を見る限りでは出てこなさそうです。

とまあ纏めてみましたが、どうせ試験時間は大量に余ると思うので愚直に解くのでも一向に構わないと思います。

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